Comment résoudre les équations quadratiques par la factorisation (méthode et exemples)

Vous êtes à la recherche d’un moyen facile de résoudre des équations quadratiques ? Eh bien, voici alors un moyen simple de résoudre une équation quadratique et de trouver les racines de l’équation donnée par la méthode de factorisation.

Le terme « quadratique » vient d’un mot latin « quadratus », qui signifie « carré ». Ainsi, toute équation ayant deux comme valeur maximale de la puissance, peut être appelée une « équation quadratique ». Dans les lignes qui suivent, je vais définir quelques termes importants avant de m’atteler à la résolution d’équations quadratiques par la méthode de factorisation à l’aide d’exemples simples.

Définitions d’une équation quadratique

Polynôme quadratique

Un polynôme du second degré est appelé polynôme quadratique. La forme générale d’un polynôme quadratique est ax² + bx + c, où a, b, c sont des nombres réels, a ≠ 0 et x est une variable.

Exemple

x² + 2x + 1 ; 3x² + √6x.

Équation quadratique

Une équation p(x) = 0, où p(x) est un polynôme quadratique, est appelée équation quadratique. La forme générale d’une équation quadratique est, ax² + bx + c = 0 où a, b, c sont des nombres réels, a ≠ 0 et x est une variable.

Exemple

x² – 6x + 2 = 0.

Termes d’une équation quadratique

Il existe trois méthodes différentes pour trouver les racines de toute équation quadratique. Nous pouvons trouver les racines en utilisant la méthode de factorisation, en complétant la méthode du carré et en utilisant une formule. Parmi toutes ces méthodes, la factorisation est une méthode très facile.

Les racines d’une équation quadratique sont les valeurs de « x », qui doivent satisfaire l’équation donnée. Un point important à noter est que, une équation quadratique ne peut pas avoir plus de deux racines distinctes. Les racines existent toujours en une paire.

Avant de commencer à résoudre l’équation quadratique, suivez les étapes ci-dessous.

• Considérez la forme générale d’une équation quadratique, c’est-à-dire, ax² + bx + c = 0.
• Factorisez le terme « ac » de telle sorte que la somme des facteurs soit égale à b.

Avec ceci, commençons à résoudre les problèmes par la méthode de factorisation en divisant le terme du milieu.

Résolution des problèmes par la méthode de factorisation.

(i) x² – 5x + 6 = 0

Solution

a = 1, b = -5 et c = 6;
a × c = 1 × 6 = 6;.

Les facteurs de 6 dont la somme est égale à -5 sont -3 et -2;
-5x peut être remplacé par -3x et -2x;

x² – 3x -2x + 6 = 0;
x(x-3) – 2(x-3) = 0 ;

Maintenant, rassemblez le terme commun dans la parenthèse (x-3) et faites l’équation de la manière suivante,

(x-3)(x-2) = 0;.

Si le produit de a et b est nul, c’est-à-dire ab = 0, alors soit a = 0, soit b = 0;

∴ x-2 = 0 ou x-3 = 0;.

Donc, x = 2 ou x = 3
Donc, les racines de l’équation quadratique x² – 5x + 6 = 0 sont 3 et 2.

(ii)2x² + x – 3 = 0

Solution

a = 2, b = 1 et c = -3;
a × c = -6;.

Les facteurs de -6 dont la somme est égale à 1 sont 3 et -2;.

2x² + 3x -2x – 3 = 0;
2x² – 2x + 3x – 3 = 0;
2x (x-1) + 3 (x-1) = 0:
(2x+3)(x-1) = 0;

∴ 2x+3 = 0 ou x-1 = 0;
x = 1 ou x = – 3/2
Donc, les racines de l’équation quadratique 2x² + x – 3 = 0 sont 2 et -3/2.

(iii)x (x + 7) = 0

Solution

C’est un problème simple, mais il y a une erreur commune que les gens font, en multipliant le terme de parenthèse (c’est-à-dire) x+7 avec le x et en en faisant une équation quadratique et pour la factoriser. Mais la logique est que, il est déjà factorisé !

(x+0)(x+7) = 0;
∴ (x+0) = 0 ou (x+7) = 0;.

Donc x = 0 ou x = -7
Donc, les racines de l’équation quadratique x (x + 7) = 0 sont 0 et -7.

(iv)x² – 25 = 0

Solution

X² – 5² = 0 ;
L’équation quadratique est de la forme a² – b² = (a+b)(a-b);.

Donc, (x+5)(x-5) = 0 ;
∴ (x+5) = 0 ou (x-5) = 0 ;.

Donc, x = -5 ou x = 5.

Comment vérifier l’équation quadratique

Si vous êtes débutant, il est toujours préférable de vérifier les résultats pour avoir votre confirmation.

Substituez la valeur des racines dans l’équation quadratique donnée du premier problème. Les racines que nous avons obtenues pour la question ci-dessus sont 3 et 2. Maintenant, substituez la valeur de x dans x² – 5x + 6 = 0;
pour x = 3;
x² – 5x + 6 = 0;
L.H.S (Left Hand Side)= 3² – 5(3) + 6;
= 9 – 15 + 6;
= 0 = R.H.S (Right Hand Side) prouvé.
En faisant cela, vous pouvez être sûr que votre solution est juste.

Quand vous êtes clair avec les bases de la résolution de l’équation quadratique par la factorisation, alors sa résolution sera la plus facile en mathématiques algébriques. Au début, pratiquez les problèmes avec le processus étape par étape, que j’ai expliqué ci-dessus. Après une pratique adéquate, vous serez en mesure de résoudre n’importe quelle équation quadratique, en un rien de temps.